Перевод ребёнка в 4й класс в 43 школу. По прописке или нет?

Ребёнок пока учится в 3м классе. По новой прописке прикреплены к 43й школе. Звоню, так и так, по прописке к вам прикреплены (что указано здесь http://www.ekburg.ru/officially/accepting_school/ а также в документах на сайте школы). Какие надо документы? В ответ: у вас слабый английский в таком классе, мы вас не можем взять 8(. Всё, no comments. Идите в 47 гимназию. Решил позвонить в 47ю: - у нас переполнено, взять не можем.

Понятно, видимо по телефону разговаривать бесполезно, когда говорят в таком тоне. Видимо надо идти побеседовать с диктофоном с директором.
Что требовать с директора, в случае отказа принять в школу?

Как сейчас обстоят дела с принятием в школу/гимназию не по месту прописки?

вся эта прописка относится только к поступлению в 1 класс. К вам она не имеет никакого отношения. В вашем случае примут только при наличии мест.

"Закрепленным лицам может быть отказано в приеме в учреждение только по причине отсутствия в нем свободных мест. В случае отказа в предоставлении места в учреждении родители (законные представители) для решения вопроса об устройстве ребенка в другое учреждение обращаются в органы местного самоуправления в сфере образования соответствующего муниципального района, городского округа."